SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI :

Leonardo de Pizza (Fibonacci) dos matemáticos mais notável da Idade Média (século XIII).
Além de revolucionar o sistema de contagem indu-arábico, inventou uma seqüência numérica encontrada em diversos fenômenos da natureza, por exemplo, no animal marinho Nautilus e nas proporções do corpo humano.
Os números da seqüência de Fibonacci são obtidos por meio da soma dos dois números anteriores:

1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89.

Exemplo: 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13.
A divisão de um número qualquer de Fibonacci pelo seu antecessor resulta sempre em uma razão próxima de 62%.
Exemplo: 21/34 é igual a 34/55, que é igual a 55/89, que é igual a 0,61803 ou cerca de 62%.
O seu universo será sempre próximo a 1.618.
A divisão pelo segundo antecessor resulta em uma razão próxima de 38%.

Exemplo: 13/34 = 21/55 = 34/89 = 0,38197

O seu universo será sempre próximo de 1.382.
Esta razão, denominada Razão de Ouro, foi utilizada por Elliott para medir o comprimento das Ondas. O grande mérito de Elliott foi ter sido o primeiro a utilizar as séries de Fibonacci no mercado financeiro.
As ondas corretivas seguem uma razão de ouro; é muito freqüente se encontrar uma onda 2, que corrige a onda 1, numa razão próxima de 62%.
Dessa forma, dado o comprimento da onda 1, é possível fazer uma previsão da onda 2 em torno de 62% da onda 1.
Outra razão muito encontrada nas Ondas de Elliott é a de 38%.
A onda 3 superou o pico da onda 1 em aproximadamente 62%.

As ondas 1 e 2 são importantes porque ajudam a identificar a onda 3.
Uma das regras mais importantes é a de que a onda 2, que corrige a onda 1, não pode romper a origem da onda 1.

A fórmula acima se aplica ao problema dos coelhos porque se no mês “n” existir “A” coelhos, e no mês “n” + 1 existir “B” coelhos. Então no mês “n” + 2 existirão, necessariamente, A + B coelhos. Isto acontece porque é sabido que cada coelho basicamente dá a luz a outro coelho todos os meses (na verdade, cada casal dá a luz a outro casal, mas é a mesma coisa), e isto significa que todos os “A” coelhos darão a luz a outro número de “A” coelhos que se tornarão férteis depois de dois meses, que é exatamente o mês n + 2. Então, no mês n + 2, existirá a população do momento n + 1 (que é B) mais a população no momento n (que é A).

 Calculando números de Fibonacci :

Na prática não é possível calcular os números de Fibonacci usando potências da proporção áurea, a não ser para valores pequenos de n, já que os erros de arredondamento se acumulam e a precisão dos números de ponto flutuante normalmente não será suficiente.
A implementação direta da definição recursiva da sequência de Fibonacci também não é recomendável porque os mesmos valores são calculados muitas vezes (a não ser que a linguagem de programação guarde automaticamente os valores calculados nas chamadas anteriores da mesma função com o mesmo argumento). Por esse motivo, normalmente calcula-se os números de Fibonacci "de baixo para cima", começando com os dois valores 0 e 1, e depois repetidamente substituindo-se o primeiro número pelo segundo, e o segundo número pela soma dos dois anteriores.

PHI :

Dividindo dois termos consecutivos da sucessão (o número maior pelo menor) vamos obter as sucessivas aproximações de PHI (34:21 = 1,619) (89:55 = 1,618).
A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, na beleza, na estética, na harmonia musical e noutros, e entre elas uma se destacou: 1.618033988749895. Esta razão foi muito usada por Phidias (um escultor grego), e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico do que conhecemos como razão dourada ou proporção Divina, pois os antigos achavam que este era um número predeterminado pelo Criador do Universo.
Ex : Ao dividir-se o número de fêmeas pelo número de machos de qualquer colméia do mundo, sempre vai obter PHI.

Espiral de fibonacci :
Se desenharmos um retângulo cujos lados tenham uma razão entre si igual ao Número de Ouro este pode ser dividido num quadrado e noutro retângulo cuja razão entre os dois lados seja também igual ao Número de Ouro.
Este processo pode ser repetido indefinidamente.

Na natureza há espirais como esta, relacionadas com o número de ouro, como, por exemplo, nos moluscos náuticos ou numa simples couve-flor.
Dizem que aves predadoras como águia, falcões e gaviões, descem sobre suas presas seguindo uma espiral, com a presa no pólo. Como os olhos das aves são laterais, fazendo isso, a ave mantém a presa sempre na mesma linha de visão sem que precise girar a cabeça, o que prejudicaria a aerodinâmica do vôo.

Aplicações :

Os números de Fibonacci podem ser usados para caracterizar diversas propriedades na Natureza.

Introduzindo fibonacci na natureza poderemos observar que essa seqüência é aplicada em diversos acontecimentos e elementos como: no comportamento da refração da luz, dos átomos, do crescimento das plantas, nas espirais das galáxias, dos marfins de elefantes, nas ondas no oceano, furacões, nas análises de tempo, no modo como as sementes estão dispostas no centro de diversas flores, etc.

Exemplos:

1- A análise de tempo vem se tornando cada vez mais importante. Conseguem ótimos resultados quando desenvolvem uma metodologia que reúne tempo e preço. Hoje em dia, realiza-se a análise temporal com ferramentas como Análise de Ciclos e os métodos que complementam o pacote Fibonacci: Seqüência de Fibonacci e Tempo de Fibonacci. É bom ressaltar que as técnicas de Fibonacci estão entre as mais usadas e efetivas no mercado acionário.

2- A Natureza "arruma" as sementes do girassol sem intervalos, na forma mais eficiente possível, formando espirais que tanto curvam para a esquerda como para a direita. O curioso é que os números de espirais em cada direção são (quase sempre) números vizinhos na seqüência de Fibonacci. O raio destas espirais varia de espécie para espécie de flor.

3- Em música os números de Fibonacci são utilizados para a afinação, tal como nas artes visuais, determinar proporções entre elementos formais. Um exemplo é a Música para Cordas, Percussão.

4- Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos, ou regulam a posição ou número de suas folhas ou pétalas pela mesma seqüência.
Botânicos acreditam que essa disposição permita melhorar o aproveitamento da luz solar e maior exposição à gotas de chuvas.

5- Existem áreas da Física em que os números de fibonacci surgem por construção proposital e dão resultados interessantes, como por exemplo em óptica.

6- Podemos ver PHI espalhado por todo o nosso corpo:
É só medir a distância que vai do alto da cabeça até o chão, e depois dividir o resultado pela distância do umbigo até o chão.
Ao medirmos a distância de um ombro até a ponta dos dedos, e depois dividir pela distância entre o cotovelo até a ponta dos dedos, obtemos o PHI.
Ou mesmo medindo a distância dos quadris até o chão, e dividindo pelo joelho até o chão. Veremos PHI nos nós dos dedos, nos artelhos, na divisão da coluna vertebral...

Conclusão :

Enfim, pelo que pude observar; existe uma forte ligação entre a Matemática e a Natureza e esta associação sofreu e sofre uma grande influência da Seqüência de Fibonacci.
Podemos encontrar ou aplicar a Seqüência de Fibonacci nos mais diversos elementos que compõem o mundo, sejam em seres vivos, fenômenos da natureza, acontecimentos, operações, análises, etc. Quem sabe poderemos até descobrir novas associações ainda desconhecidas.